---
id: c3yck8
date: 2026-07-26T19:24:32+0300
languages: [ru]
aliases:

reviews:

tags:
- draft
- knowledge
---
# Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

## Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha$
где $\alpha$ - угол между векторами


В координатах скалярное произведение определено как:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Скалярное произведение позволяет найти угол между двумя векторами:
$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю - они перпендикулярны.

## Векторное произведение
Векторным произведением двух векторов называется вектор
$\vec{a} \times \vec{b}$
который:
- перпендикулярен a
- перпендикулярен b
- направлен по правилу правой руки

Длина вектора векторного произведения равна
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \alpha$

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y 
& b_z \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix}a_y & a_z \\ b_y & b_z\end{vmatrix} - \vec{j} 
\begin{vmatrix}a_x & a_z \\ b_x & b_z\end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix}a_x & a_y \\ b_x & 
b_y\end{vmatrix}$

Длина векторного произвещения равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Если векторное произведение равно нулевому вектору - векторы коллинеарны.

Векторное произведение антикоммутативно.

## Смешанное произведение
Смешанным произведением трёх векторов называется число, равное
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$

Смешанное произведение можно вычислить как определитель:
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z 
\end{vmatrix}$
$ = c_x \begin{vmatrix}a_y & a_z \\ b_y & b_z\end{vmatrix} - c_y \begin{vmatrix}a_x & a_z \\ b_x & 
b_z\end{vmatrix} + c_z \begin{vmatrix}a_x & a_y \\ b_x & b_y\end{vmatrix}$

Абсолютное значение смешанного произведения равно объёму параллелепипеда, построенного на трёх 
векторах.

Если три вектора лежат в одной плоскости (компланарны), то смешанное произведение равно нулю.

# Up
- [Аналитическая геометрия](6nuvmj)