---
id: gn83wo
date: 2026-07-25T20:35:08+0300
languages: [ru]
aliases:

reviews:

tags:
- draft
- knowledge
---
# Точечные и интервальные оценки

В математической статистике обычно неизвестны параметры генеральной совокупности, и по выборке 
необходимо оценить эти параметры.

Существуют два основных вида оценок:
- точечные - одно число
- интервальные - диапазон возможных значений

## Точечная оценка
Точечная оценка $\hat{\theta}$ - это функция от выборки, которая используется для приближённого 
определения неизвестного параметра генеральной совокупности.

Например, если неизвестно математическое ожидание $\mu$, то естественной оценкой является 
выборочное среднее:
$\hat{\mu} = \bar{X}$

Основные точечные оценки:
- математическое ожидание - выборочное среднее
- дисперсия - несмещённая оценка дисперсии

## Свойства хороших оценок

### Несмещённость
Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание равно истинному параметру:
$M(\hat{\theta}) = \theta$

### Состоятельность
Оценка является состоятельной, если при увеличении объёма выборки она стремится к истинному 
значению:
$\hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta$

### Эффективность
Если существуют несколько несмещённых оценок одного параметра, предпочтительнее та, которая имеет 
меньшую дисперсию.
$D(\hat{\theta}_1) < D(\hat{\theta}_2)$

## Интервальная оценка
Точечная оценка имеет недостаток: она не показывает точность оценки.
Поэтому используют интервальную оценку.
Она имеет вид:
$\theta \in [\theta_1; \theta_2]$

## Доверительный интервал
Интервальная оценка обычно строится с заданной доверительной вероятностью $\gamma$:
$P(\theta_1 < \theta < \theta_2) = \gamma$
Это определение не совсем корректное, так как вероятность не показывает, что фиксированный параметр 
уже находится внутри.

Интервальная оценка - диапазон, который с заданной доверительной вероятностью покрывает неизвестный 
параметр.

# Up
- [Теория вероятностей и математическая статистика](e6ulbq)